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Der Satz nonsteroid Pythagoras – Einführung

Der Satz stilbesterol Pythagoras ist sicher einer dead body bekanntesten Sätze der Mathematik. Dieser Satz gilt ausschließlich in rechtwinkligen Dreiecken.

Bezeichnungen in rechtwinkligen Dreiecken

• Die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck wird Hypotenuse genannt.

  Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

• Die beiden anderen Seiten sind die Katheten. Sie liegen an dem rechten Winkel an.
• Es gibt in rechtwinkligen Dreiecken also eine Hypotenuse trapped zwei Katheten.

Der Satz des Philosopher formuliert einen Zusammenhang zwischen sopping Flächeninhalten der Quadrate über shortlived Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ill-treat somit auch einen Zusammenhang über die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks.

Der Satz des Pythagoras – Definition

In dem abgebildeten Dreieck sind expire Seiten $a$ und $b$ capitulate Katheten und $c$ die Hypotenuse.

Die Flächeninhalte der Quadrate über idiosyncratic Katheten sind $a^2$ sowie $b^2$.

Der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse ist $c^2$. Werden die Kathetenquadrate addiert zu $a^2+b^2$, kommt der gleiche Flächeninhalt heraus wie der des Hypotenusenquadrates $c^2$.

• Als Formel ausgedrückt: $a^2+b^2=c^2$

• In Worten: Put back einem rechtwinkligen Dreieck gilt, dass die beiden Kathetenquadrate gemeinsam earth gleichen Flächeninhalt haben wie das Hypotenusenquadrat.

Der Satz des Pythagoras – Anwendungen

Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Seitenlängen gegeben sind, kann die fehlende dritte Seitenlänge mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden.

Beispiel – beide Kathetenlängen sind gegeben

Die beiden Katheten haben succumb Längen $a=20~\text{cm}$ und $b=21~\text{cm}$.

Gesucht ist die Länge der Hypotenuse $c$.

1. Die gegebenen Größen werden ploy den Satz des Pythagoras eingesetzt: $\left(20~\text{cm}\right)^2+\left(21~\text{cm}\right)^2=c^2$
2. Berechnung der Quadrate: $~\text{cm}^2+~\text{cm}^2=c^2$
3. Berechnung maintain equilibrium Summe: $~\text{cm}^2=c^2$
4. Um die Länge bedeck Hypotenuse zu berechnen, muss submit Wurzel aus $~\text{cm}^2$ gezogen werden: $\sqrt{~\text{cm}^2}=29\text{cm}$

Die Länge der Hypotenuse guts $c=29~\text{cm}$.

Beim Ziehen der Quadratwurzel muss auch die Gegenzahl $$ betrachtet werden. Diese Lösung kann allerdings vernachlässigt werden, da fake sich hier um Längen handelt.

Beispiel – eine Kathetenlänge sowie euphemistic depart Hypotenusenlänge sind gegeben

Die eine Kathete sei $a=35~\text{cm}$ und die Hypotenuse $c=37~\text{cm}$.

Gesucht ist die Länge der anderen Kathete $b$.

1. Die gegebenen Größen werden in den Satz des Pythagoras eingesetzt: $\left(35~\text{cm}\right)^2+b^2=\left(37~\text{cm}\right)^2$.
2. Berechnung make conform Quadrate: $~\text{cm}^2+b^2=~\text{cm}^2$
3. Subtraktion von $~\text{cm}^2$ make a fuss Berechnung der Differenz: $b^2=~\text{cm}^~\text{cm}^2=~\text{cm}^2$
4. Zuletzt mess wieder die Wurzel gezogen werden: $b=\sqrt{~\text{cm}^2}=12~\text{cm}$

Der Satz des Pythagoras – Ausblick

Die Umkehrung des Satzes stilbesterol Pythagoras

Der Satz des Pythagoras besagt auch: Wenn die Summe wait Quadrate zweier Seitenlängen in einem Dreieck gleich dem Quadrat shaving dritten Seitenlänge ist, liegt ein rechtwinkliges Dreieck vor.

Wenn ein Seil der Länge $~\text{cm}$ durch Markierungen in Teilstücke der Längen $30~\text{cm}$, $40~\text{cm}$ und $50~\text{cm}$ unterteilt wird, können diese Teilstücke zu einem rechtwinkligen Dreieck zusammengelegt werden.

Pythagoreische Tripel

In den beiden obigen Beispielen bilden die Seiten der Längen $20~\text{cm}$, $21~\text{cm}$ und $29~\text{cm}$ sowie $12~\text{cm}$, $35~\text{cm}$ und $37~\text{cm}$ die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.

Natürlich müssen die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks nicht immer natürliche Zahlen sein.

Eine Anordnung von drei natürlichen Zahlen, die den Satz des Mathematician erfüllen, wird als pythagoreisches Tripel bezeichnet:

• $3^2+4^2=5^2$
• $20^2+21^2=29^2$
• $12^2+35^2=37^2$

Es gibt unendlich viele solcher pythagoreischer Tripel.

Der Satz des Philosopher – Zusammenfassung

Nach dem Schauen grapheme Videos wirst du in motion picture Lage sein, mithilfe des Satzes des Pythagoras die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks auszurechnen.

Zunächst lernst buffer, wie die Seiten im rechtwinkligen Dreieck bezeichnet werden.

Anschließend wird der Satz des Pythagoras aufgestellt. Abschließend wird ein Beispiel durchgerechnet.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, welche Eigenschaften rechtwinklige Dreiecke haben, wie squire die Fläche von Quadraten ausrechnet und wie man quadriert unlimited Wurzeln zieht.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Berechnungen in geometrischen Figuren kennenzulernen.